東大生への挑戦状

QUESTION

問題

次の条件を満たす△ABCはそれぞれ存在するか。

（1） \(\sin\angle A\)，\(\sin\angle B\)，\(\sin\angle C\) がすべて異なる 1 未満の有理数となる。
（2） \(\sin\angle A = \cos\angle B = \tan\angle C\) が成立する。
ANSWER

1 （1）の解答

存在する ✓

3辺の長さがそれぞれ 3, 4, 5 と 5, 12, 13 の直角三角形から得られる小さい方の鋭角をそれぞれ \(\angle A\)，\(\angle B\) とすると，

$$\sin\angle A = \frac{3}{5},\quad \cos\angle A = \frac{4}{5}$$ $$\sin\angle B = \frac{5}{13},\quad \cos\angle B = \frac{12}{13}$$

ここで \(\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)\) となり，加法定理を用いると，

$$\sin\angle C = \sin(\angle A + \angle B)$$ $$= \sin\angle A \cos\angle B + \cos\angle A \sin\angle B$$ $$= \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$$

したがって，\(\sin\angle A = \dfrac{3}{5}\)，\(\sin\angle B = \dfrac{5}{13}\)，\(\sin\angle C = \dfrac{56}{65}\) であり，いずれも 1 未満の有理数で互いに異なる。よって存在する。

POINT

\(\angle C\) については \(\sin\angle C = \sin(\angle A + \angle B)\) なので， まず sin と cos がともに有理数になる角を 2 つ用意すればよい。

3辺が自然数の直角三角形（ピタゴラス数）を使うのがポイント。 3, 4, 5 と 5, 12, 13 の鋭角では sin・cos がともに有理数になる。 これを \(\angle A\)，\(\angle B\) に選べば，加法定理により \(\sin\angle C\) も自動的に有理数になる。

2 （2）の解答

存在する ✓

\(\sin\angle A = \cos\angle B\) より， \(\angle A = \dfrac{\pi}{2} - \angle B\) または \(\angle A = \dfrac{\pi}{2} + \angle B\)

CASE (i) — \(\angle A = \dfrac{\pi}{2} - \angle B\) のとき

\(\angle C = \pi - \angle A - \angle B = \dfrac{\pi}{2}\) となり，\(\tan\angle C\) が定義されない。

✗ 条件を満たさない
CASE (ii) — \(\angle A = \dfrac{\pi}{2} + \angle B\) のとき

\(\angle C = \dfrac{\pi}{2} - 2\angle B\) であり，\(0 < \angle B < \dfrac{\pi}{4}\) の範囲で 次の方程式を満たす \(\angle B\) が存在すれば題意を満たす。

$$\tan\!\left(\frac{\pi}{2} - 2\angle B\right) = \cos\angle B$$

そこで

$$f(\angle B) = \tan\!\left(\frac{\pi}{2} - 2\angle B\right) - \cos\angle B$$

とおくと，

$$\lim_{\angle B \to +0} f(\angle B) = +\infty > 0$$ $$\lim_{\angle B \to \frac{\pi}{4}-0} f(\angle B) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$$

したがって，中間値の定理により， \(\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\angle B\right) = \cos\angle B\) を満たす \(\angle B\) が \(0 < \angle B < \dfrac{\pi}{4}\) の範囲に存在する。

✓ 条件を満たす△ABCが存在する
POINT — 数学Ⅱ範囲での別解

\(\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\angle B\right) = \cos\angle B\) を変形すると，

$$\frac{\cos 2\angle B}{\sin 2\angle B} = \cos\angle B$$ $$\frac{1 - 2\sin^2\!\angle B}{2\sin\angle B\cos\angle B} = \cos\angle B$$ $$1 - 2\sin^2\!\angle B = 2\sin\angle B\cos^2\!\angle B$$ $$1 - 2\sin^2\!\angle B = 2\sin\angle B(1 - \sin^2\!\angle B)$$ $$2\sin^3\!\angle B - 2\sin^2\!\angle B - 2\sin\angle B + 1 = 0$$

\(x = \sin\angle B\)（\(0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)）とおき， \(g(x)=2x^3 - 2x^2 - 2x + 1\) とすると，

$$g(0) = 1 > 0, \quad g\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$$

3次関数のグラフ \(y = g(x)\) を考えることで，3次方程式 \(g(x) = 0\) の解の 1 つが \(0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) の間に存在することがわかる。 よって題意を満たす△ABCは存在する。

（1）（2）ともに — 条件を満たす△ABCは存在する