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  • 東進タイムズ 2022年11月01号

数学 澤村光弘先生の学習アドバイス

数学
澤村光弘先生

パターンやテクニックの丸暗記とは正反対の、体系的に解法を掘り下げていく授業を展開する。先生の熱くパワフルな語りの波に乗れば、論理を的確に踏まえて自分自身で考える力がつき、数学の世界で自由自在に振る舞えること間違いナシ! 数学を楽しみたい君にピッタリ。

新高3生

12月になると共通テスト対策のウエイトが大きくなるので、11月は志望校対策にじっくり取り組むチャンス。過去問の解答例を理解できなかった問題の分野はテキストに戻り、重要事項を確認し、そこにある問題を初心に戻って解き直して、苦手分野をつぶしていく。地道な努力が実を結ぶはずです。解答例は理解できたが自力で解けなかった場合は、「発想ができなかった」「論理展開ができなかった」などあるかもしれませんが、突き詰めれば『素直な、素朴なことができなかった』ことが多いはずです。重要事項を、問題を解くための道具と見るのではなく、その心を探ってください。

焦らず初志貫徹!

志望校対策を進めていくと、受験生の多くは志望校と自分の実力とのギャップの大きさに唖然とし、焦り、勉強に身が入らない。挙句の果てに志望校を変更するなど、もっての外です。初志貫徹ですぞ! 『現状を認め、気持ちを切り替え、前を見て、一歩一歩前進する』ことです。人生、いつかは窮地に立たされます。そのとき、この経験が必ずや君たちを救ってくれます。ガンバ!
※「ガンバ」はクライミングの俗語で"がんばれ"のこと。

新高1生・高2生

高2生は苦手分野の教科書レベルの克服です。11月で終わらなくても構いません。焦らず、じっくり取り組んでください。自学自習ができそうにないのなら、東進の『高等学校対応数学』が強い味方になります。一つの分野を克服できれば、この「できるやん」の体験によって、ほかの苦手分野の克服も簡単ですよ。

高1生は何とかなりそうな分野の教科書を開きましょう。定義を確認し、公式の成り立ちを理解し、問題にチャレンジする。問題の解法は暗記するのではなく、理解納得することが重要です。11月中にその分野のマスターを目標にしましょう。

勉強に取り組む姿勢が人間性を豊かにする

「勉強はやろうと思ったときにする」では、いつまで経ってもしないよね。ルールを作ることです。例えば、「部活がない日は3時間勉強するぞ」など。しかし、ときには息抜きもOK。

時間の余裕があるこの時期、"自分にとって難しそうな問題"に取り組んでみよう。あれこれ考え、調べ、あっという間の一日。無駄な一日ではないよ。物事にじっくり取り組む姿勢・経験は、いかなる状況にも冷静に対処する力を養い、君の人間性を豊かなものにしてくれるよ。

 n^2+2とn^4+2の最大公約数をB_nとする。

   n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6   …①

 であるから、ユークリッドの互除法より、

   B_nはn^2+2と6の最大公約数である。

 よって、B_nは6の正の約数に限られる。

したがって、最大公約数の定義から、

A_nも6の正の約数に限られる。

 次に、6=2×3に着目して、n_ の偶奇性と、n_ を3で割った余りについて考える。

(ⅰ)  n_ の偶奇性について

  ・n_ が偶数のとき n^2+2、n^4+2、n^6+2は、すべて偶数で、2を公約数にもつ。

  ・n_ が奇数のとき n^2+2、n^4+2、n^6+2は、すべて奇数で、2を公約数にもたない。

(ⅱ)  n_ を3で割った余りについて

   n_ =3k_ +r_ (kは整数、r_ は0か±1)とおくことができ、

     n^2+2=〖(3k_ +r_ )〗^2+2=3s_ +r^2+2 (ただし、s_ は整数)

          n^4+2=〖(3k_ +r_ )〗^4+2=3t_ +r^4+2 (ただし、t_ は整数)

n^6+2=〖(3k_ +r_ )〗^6+2=3u_ +r^6+2 (ただし、u_ は整数)

      に注意すると、

  ・r_ =0のとき n^2+2、n^4+2、n^6+2は、すべて3で割ると余りが2であり、

         3を公約数にもたない。

  ・r_ =±1のとき n^2+2、n^4+2、n^6+2は、すべて3で割り切れ、

         3を公約数にもつ。

以上より、

 ・n_ が偶数かつr_ =0のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが0のとき

        A_n=2

 ・n_ が偶数かつr=±1のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが2、4のとき

        A_n=6

・n_ が奇数かつr=0のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが3のとき

        A_n=1

・n_ が奇数かつr=±1のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが1、5のとき

        A_n=3

(注1) (ⅱ)をmod 3で考察できれば、なおのことよし。

(注2) 数学では同じようなことを繰り返す場合が多いよね。これに気付けば(言われれば当たり前のことだが)、①と同様なことをn^2+2とn^6+2について行ってみよう。 このことと①から、A_nはn^2+2と6の最大公約数に一致することがわかる。ナイスな別解が見つかりそうですね。