数学 澤村光弘先生の学習アドバイス

　n^2＋2とn^4＋2の最大公約数をB_nとする。

　　　n^4＋2＝(n^2＋2)(n^2－2)＋6　　　…①

 であるから、ユークリッドの互除法より、

　　　B_nはn^2＋2と6の最大公約数である。

 よって、B_nは6の正の約数に限られる。

したがって、最大公約数の定義から、

A_nも6の正の約数に限られる。

 次に、6=2×3に着目して、n_ の偶奇性と、n_ を3で割った余りについて考える。

(ⅰ)　 n_ の偶奇性について

　　・n_ が偶数のとき　n^2＋2、n^4＋2、n^6＋2は、すべて偶数で、2を公約数にもつ。

　　・n_ が奇数のとき　n^2＋2、n^4＋2、n^6＋2は、すべて奇数で、2を公約数にもたない。

(ⅱ)　 n_ を3で割った余りについて

　　　n_ ＝3k_ +r_ (kは整数、r_ は0か±1)とおくことができ、

　　　　　n^2＋2=〖(3k_ +r_ )〗^2＋2＝3s_ ＋r^2＋2 (ただし、s_ は整数)

          n^4＋2=〖(3k_ +r_ )〗^4＋2＝3t_ ＋r^4＋2 (ただし、t_ は整数)

n^6＋2=〖(3k_ +r_ )〗^6＋2＝3u_ ＋r^6＋2 (ただし、u_ は整数)

      に注意すると、

　　・r_ ＝0のとき　n^2＋2、n^4＋2、n^6＋2は、すべて3で割ると余りが2であり、

　　　　　　　　　3を公約数にもたない。

　　・r_ =±1のとき　n^2＋2、n^4＋2、n^6＋2は、すべて3で割り切れ、

　　　　　　　　　3を公約数にもつ。

以上より、

　・n_ が偶数かつr_ ＝0のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが0のとき

　　　　　　　　A_n＝2

　・n_ が偶数かつr=±1のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが2、4のとき

　　　　　　　　A_n＝6

・n_ が奇数かつr＝0のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが3のとき

　　　　　　　　A_n＝1

・n_ が奇数かつr＝±1のとき、すなわち、n_ が6で割ると余りが1、5のとき

　　　　　　　　A_n＝3

(注1)　(ⅱ)をmod 3で考察できれば、なおのことよし。

(注2) 数学では同じようなことを繰り返す場合が多いよね。これに気付けば(言われれば当たり前のことだが)、①と同様なことをn^2＋2とn^6＋2について行ってみよう。 このことと①から、A_nはn^2＋2と6の最大公約数に一致することがわかる。ナイスな別解が見つかりそうですね。