2017年9月16日 15:56

数学の面白問題

こんにちは!医学部医学科4年の早川です。
そろそろ駿台・河合塾などの模試が返ってくるころだと思います。各々の出来は違うと思いますが、しっかり復習して次につなげていきましょう。
さて、ここ2回で大学関係(医学部)のネタを使い切ってしまったので、次は受験っぽいネタを書こうと思います。

今日は受験生時代、僕が興味深い・面白いと思った数学の問題をいくつか紹介したいと思います。

数学、といっても文系の人にも分かりやすいものを選んでいるつもりなので、ぜひ、苦手な人も読んでみてください。(数学者とかがいう「面白い」とは違います)
長くなるので、基本的に解答は割愛します。興味があれば調べてみてください。


①tan1°は有理数か。

これは京大の問題です。こんなシンプルな問題が出るとはびっくりですね。パッと見でいいので、皆さんはどう思いますでしょうか?

答えは「無理数」です。背理法で解きます。ネットとかにもよくある問題なので、解答に興味ある人は検索してみてください。

②円周率が3.05より大きいことを示せ。
これは東大の問題です。「円周率を3にすることに東大が反発した問題」などとも言われており、有名な問題です。(学校などで聞いたことがある人も多いのではないでしょうか)

これを示せ、というのも驚きですが、解答もまた驚きです。なんと、円周率には「直系の長さに対する円周の長さの比」というきちんとした定義があります。
なので、面積などで示すのではなく、「直系の長さ」と「円周」の関係で示す必要があります。(と僕は教わりました。まあ面積で示しても点は来そうですが)

東大の問題って、数式が多くて複雑な問題ばかりあるイメージですが、こういう問題もあるんですね。

③一般角θにおいて、sinθ、cosθの定義を書け。
これも東大です。これも受験会場で見たら衝撃でしょう。意外とこういう問題って存在するもんなんですね。
高校生としては、単位円に関連付けてかくのが正解らしいです。ちなみにこれは(1)の問題で。(2)に「加法定理を証明しなさい」というのがあります。

④白石180個と黒石181個が一列に並んでいる。碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒石が少なくとも1つあることを示せ。
「その黒石とそれより右にある碁石を全て取り除くと、残りは白石と黒石が同数となる(1個もない場合も同数)」
東大の問題です。
設定は分かりやすいですがいざ考えてみると難しいですね。中間値の定理を使います。「中間値の定理」という名称を除けば、知識的には小学生でも解けそうです。
似たような問題に「地球上で、その地点の真裏の地点と気温が等しい場所がある事を示せ」というのもあります。これは中間値の定理を教わる時に例題として出されるかもしれません。

⑤箱の中に当たりくじ3本、チャンスくじ1本、はずれくじ6本がある。チャンスくじを引くと、もう1回くじを引く権利が得られる。A君、B君がこの順でくじを引くとき、B君が当たる確率を求めよ。

これは大学入試ではありませんが、面白いと思った問題です。皆さんはどのように考えましたでしょうか。A君がチャンスを引いた場合、B君がチャンスを引いた場合、どちらも引かなかった場合、とか考えてみた人も多いのではないでしょうか。しかし、非常にめんどくさいですね・・・・。

実はこれ、答えはすぐにわかります。答えは3/9、つまり1/3です。なぜでしょう?

チャンスくじというのは、「もう1回引く権利が得られる」のみなので、実質関係ありません。
「当たり3、はずれ6の中に手を入れたが、何も出さずにもう1回手を出して、また引いた」というのと変わりがありません。手に持っているのが空気かチャンスくじかの違いです。(つまり、チャンスくじは空気と同じです)
これは面白い発想だ、と思いました。発想の転換、という意味ではかなり印象に残った問題です。

どうでしょうか?数学と聞くと嫌なイメージを持つ人も多いと思いますが、面白い問題に出会ってみると、考えも変わるかもしれません。少しでも「数学アレルギー」を解消してくれれば、と思います。
受験の数学も大変ですが、頑張って下さい。


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